quinta-feira, 16 de agosto de 2012

Informação extra: Como descobrir a quantidade de algarismos de um número

Imaginem que queiramos saber quantos algarismos tem o número N = 212 . 58

Se fossemos resolver essas operações para descobrir o número N e então saber quantos algarismos ele tem seria uma operação muito trabalhosa. Existe uma maneira mais simples de resolver esse problema, mas primeiro vocês devem saber o que é um Logaritmo.

Logaritmos foram primeiro estudados por John Napier (1550-1617) e Henry Briggs (1531-1630) e surgiram da necessidade de facilitar cálculos grandes, como o do problema em questão, porque usando logaritmos podemos transformar multiplicações em somas, divisões em subtrações, e outras transformações úteis.

Bem vamos ao que é de fato um logaritmo. Sabemos que em 4² = 16: 4 é a base, 2 é o expoente e 16 é a potência. Se fossemos escrever essa operação na forma de logaritmo seria assim:  log416 = 2, que é lido assim, "logaritmo de 16 na base 4 é igual a 2". Veja mais exemplos:

15² = 225, logo log15225 = 2
6³ = 216, logo log6216 = 3
70 = 1, logo: log71 = 0

De maneira geral dado um número real b, positivo e diferente de 1; um número real N positivo e um número real x. Temos logbN = x se, e somente se, b= N. Veja os exemplos:

log28 = 3 porque 23 = 8
 log41 = 0 porque 40 = 1
log55 = 1 porque 51 = 5

Notas: 
1) Logaritmos de base 10, chamados de logaritmos decimais, podem ser representados sem explicitar a base, assim: log100 é logaritmo de 100 na base 10.  

2) Os logaritmos decimais são, normalmente, números decimais, onde a parte inteira é chamada de característica e a parte decimal é chamada de mantissa. Assim, log20 = 1,3010, onde 1 é a característica e 0,3010 é a mantissa. 

3) Os valores dos logaritmos decimais podem ser encontrados em tabelas(clique no link para ver uma tabela).

4) Não existem logaritmos de zero e números negativos. Veja a definição de logaritmo e veja se consegue entender porque.

Propriedades operacionais

P1) Logaritmo de um produtologb(M.N) = logbM + logbN

P2) Logaritmo de um quocientelogb(M/N) = logbM - logbN

P3) Logaritmo de uma potência logbMk = k.logbM

Ufa! Muitas informações certo? Tome todo o tempo necessário para entendê-las, porque será necessário para resolver o nosso problema inicial.

Conseguiram entender? Fantástico, agora vamos ver como os logaritmos podem nos ajudar com o problema inicial, que era, se vocês lembram, saber quantos algarismos tem o número N = 212 . 58 . Sabe-se que o número de algarismos de um número é encontrado somando-se 1 à parte característica(parte inteira) do logN. Então, basicamente precisamos calcular logN e somar 1 à sua parte inteira. Os cálculos são assim:

log N = log (2 12 . 5 8 )
log N = log 2 12 + log 5 8                                          aplicação da propriedade P1
log N = 12 . log 2 + 8 . log 5                                    aplicação da propriedade P3
log N = 12 . log 2 + 8 . log (10 / 2)                           5 = 10 / 2                                                                      
log N = 12 . log 2 + 8 (log 10 – log 2)                      aplicação da propriedade P2
log N = 12 . log 2 + 8 (1 – log 2)                              log 10 = 1
log N = 12 . log 2 + 8 – 8 . log 2                              resolvendo o parenteses
log N = 4 . log 2 + 8                                                somando 12 . log 2 - 8 . log 2 = 4 . log 2
log N = 4 . 0,3010 + 8                                            valor aproximado de log 2, consulte a tabela.
log N = 1,2040 + 8
log N = 9,2040

Da regra temos que N terá 1 + 9 = 10 algarismos. 

Como sempre, qualquer dúvida, ou acréscimo, podem deixar nos comentários.


Agora tente você. (NÃO É PARA ENTREGAR)

Quantos algarismos tem o número 3.219.518.7?                                                             

4 comentários:

  1. Ao invés de usar log, podemos também multiplicar as potências ao deixa-las com mesmo grau de expoente.
    2^12.5^8 = 2^4.2^8.5^8 = 16.10^8. Sabemos por notação científica que o expoente de 10(vulgarmente falando), indica a quantidade de zeros que o número terá, logo, contarei os dois algarismos de 16 e os oito zeros, ficando assim 10 algarismos.

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  2. Na questão teste a mesma coisa,
    3.2^19.5^18.7 = 3.2.2^18.5^18.7 = 3.7.10^18
    = 21.10^18. Ficando assim com 20 algarismos.

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  3. Quando for só potencias de base 2, basta dividir o expoente por 3, o resultado inteiro é o número de algarismos. (exceto o número 20). Não sei se em algum livro tem isso, eu desenvolvi e testei até o expoente 180, só quando o expoente é 20 não funcionou.

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  4. Não entendi o que tu fez a partir disso : log N = 12 . log 2 + 8 (1 – log 2) log 10 = 1
    log N = 12 . log 2 + 8 – 8 . log 2 resolvendo o parenteses
    log N = 4 . log 2 + 8 somando 12 . log 2 - 8 . log 2 = 4 . log 2
    log N = 4 . 0,3010 + 8 valor aproximado de log 2, consulte a tabela.
    log N = 1,2040 + 8
    log N = 9,2040

    Pq tu descartou o log2???

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