Se fossemos resolver essas operações para descobrir o número N e então saber quantos algarismos ele tem seria uma operação muito trabalhosa. Existe uma maneira mais simples de resolver esse problema, mas primeiro vocês devem saber o que é um Logaritmo.
Logaritmos foram primeiro estudados por John Napier (1550-1617) e Henry Briggs (1531-1630) e surgiram da necessidade de facilitar cálculos grandes, como o do problema em questão, porque usando logaritmos podemos transformar multiplicações em somas, divisões em subtrações, e outras transformações úteis.
Bem vamos ao que é de fato um logaritmo. Sabemos que em 4² = 16: 4 é a base, 2 é o expoente e 16 é a potência. Se fossemos escrever essa operação na forma de logaritmo seria assim: log416 = 2, que é lido assim, "logaritmo de 16 na base 4 é igual a 2". Veja mais exemplos:
15² = 225, logo log15225 = 2
6³ = 216, logo log6216 = 3
70 = 1, logo: log71 = 0
De maneira geral dado um número real b, positivo e diferente de 1; um número real N positivo e um número real x. Temos logbN = x se, e somente se, bx = N. Veja os exemplos:
log28 = 3 porque 23 = 8
log41 = 0 porque 40 = 1
log55 = 1 porque 51 = 5
Notas:
1) Logaritmos de base 10, chamados de logaritmos decimais, podem ser representados sem explicitar a base, assim: log100 é logaritmo de 100 na base 10.
2) Os logaritmos decimais são, normalmente, números decimais, onde a parte inteira é chamada de característica e a parte decimal é chamada de mantissa. Assim, log20 = 1,3010, onde 1 é a característica e 0,3010 é a mantissa.
3) Os valores dos logaritmos decimais podem ser encontrados em tabelas(clique no link para ver uma tabela).
4) Não existem logaritmos de zero e números negativos. Veja a definição de logaritmo e veja se consegue entender porque.
Propriedades operacionais
P1) Logaritmo de um produto: logb(M.N) = logbM + logbN
P2) Logaritmo de um quociente: logb(M/N) = logbM - logbN
P3) Logaritmo de uma potência: logbMk = k.logbM
Ufa! Muitas informações certo? Tome todo o tempo necessário para entendê-las, porque será necessário para resolver o nosso problema inicial.
Conseguiram entender? Fantástico, agora vamos ver como os logaritmos podem nos ajudar com o problema inicial, que era, se vocês lembram, saber quantos algarismos tem o número N = 212 . 58 . Sabe-se que o número de algarismos de um número é encontrado somando-se 1 à parte característica(parte inteira) do logN. Então, basicamente precisamos calcular logN e somar 1 à sua parte inteira. Os cálculos são assim:
log N = log (2 12 . 5 8 )
log N = log 2 12 + log 5 8 aplicação da propriedade P1
log N = 12 . log 2 + 8 . log 5 aplicação da propriedade P3
log N = 12 . log 2 + 8 . log (10 / 2) 5 = 10 / 2
log N = 12 . log 2 + 8 (log 10 – log 2) aplicação da propriedade P2
log N = 12 . log 2 + 8 (1 – log 2) log 10 = 1
log N = 12 . log 2 + 8 – 8 . log 2 resolvendo o parenteses
log N = 4 . log 2 + 8 somando 12 . log 2 - 8 . log 2 = 4 . log 2
log N = 4 . 0,3010 + 8 valor aproximado de log 2, consulte a tabela.
log N = 1,2040 + 8
log N = 9,2040
Da regra temos que N terá 1 + 9 = 10 algarismos.
Como sempre, qualquer dúvida, ou acréscimo, podem deixar nos comentários.
Agora tente você. (NÃO É PARA ENTREGAR)
Quantos algarismos tem o número 3.219.518.7?
Ao invés de usar log, podemos também multiplicar as potências ao deixa-las com mesmo grau de expoente.
ResponderExcluir2^12.5^8 = 2^4.2^8.5^8 = 16.10^8. Sabemos por notação científica que o expoente de 10(vulgarmente falando), indica a quantidade de zeros que o número terá, logo, contarei os dois algarismos de 16 e os oito zeros, ficando assim 10 algarismos.
Otima resposta !Me ajudou muito Obrigada!
Excluirobrigada pela ajuda! nunca aviam me mostrado assim
ExcluirNa questão teste a mesma coisa,
ResponderExcluir3.2^19.5^18.7 = 3.2.2^18.5^18.7 = 3.7.10^18
= 21.10^18. Ficando assim com 20 algarismos.
amigao, ótimo comentário, só nao entendi pq vc deixou um 2 a mais ai, 3.2.2^18.5^18.7= deveria ser 3.2.7.10^18, não?
ExcluirFizeste "3.2.2^18.5^18.7", mas logo depois esqueceste do "2", ficando com a resposta "3.7.10^18
Excluir= 21.10^18" ao invés de "3.2.10^18.7 = 6.7.10^18 = 42.10^18".
Quando for só potencias de base 2, basta dividir o expoente por 3, o resultado inteiro é o número de algarismos. (exceto o número 20). Não sei se em algum livro tem isso, eu desenvolvi e testei até o expoente 180, só quando o expoente é 20 não funcionou.
ResponderExcluirPela sua regra, 2 elevado a cem então seria 33? Na resposta de uma priva de concurso que fiz, estava 31... Qual a resposta correta?
ExcluirPela sua regra, 2 elevado a cem então seria 33? Na resposta de uma priva de concurso que fiz, estava 31... Qual a resposta correta?
ExcluirDesconheço essa regra e tenho minhas dúvidas quanto à sua validade..
ExcluirNão entendi o que tu fez a partir disso : log N = 12 . log 2 + 8 (1 – log 2) log 10 = 1
ResponderExcluirlog N = 12 . log 2 + 8 – 8 . log 2 resolvendo o parenteses
log N = 4 . log 2 + 8 somando 12 . log 2 - 8 . log 2 = 4 . log 2
log N = 4 . 0,3010 + 8 valor aproximado de log 2, consulte a tabela.
log N = 1,2040 + 8
log N = 9,2040
Pq tu descartou o log2???
não houve descarte, mas sim a troca de log 2 pelo valor aproximado 0,3010
Excluirsó fazer log da base vezes o expoente , o resultado vc pega e soma com 1
ResponderExcluirporque soma com 1?
ResponderExcluirEssa é a parte que eu gostaria de entender. Eu ainda não encontrei o porquê da soma com 1.
Excluira ideia é aplicar a definição de log ao final do problema, concluindo que N = 10^9,2040 que apresenta a mesma quantidade de algarismos de 10^9, isto é 1um+9zeros = 10 algarismos.
ExcluirSoma com um, porque é o expoente é a quantidade de zeros e o 1 é do número 10, por exemplo 10^5 , serão 5 zeros e o 1 do algarismo 10, 100000
ExcluirAlém de me dizer quantos algarismos existem, tem como defini-los?
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